Question

15．如图，点A的坐标为（0，2$\sqrt{3}$），△AOB是等边三角形，AC⊥AB，直线AC与x轴和直线OB分别相交于点C和点D，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点B．
（1）求k的值；
（2）判断点D是否在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥于x轴于E，由等边三角形的性质可知OA=OB=AB=2$\sqrt{3}$，∠AOB=∠ABO=∠BAO=60°，由∠AOC=90°=∠BAC得∠OAC=∠BOE=30°，通过解直角三角形求得；
（2）过D作DF⊥x轴于F 根据∠BAD=90°，∠B=60°，得出∠ADB=30°，从而得出∠ADO=∠OAD=30°，得出OD=OA=2$\sqrt{3}$，解30°角的直角三角形即可求得OF=3，DF=$\sqrt{3}$，求得D的坐标，代入反比例函数的解析式即可判断点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上．

解答  解：（1）作BE⊥于x轴于E，
∵△AOB为等边三角形，A（0，2$\sqrt{3}$），
∴OA=OB=AB=2$\sqrt{3}$，∠AOB=∠ABO=∠BAO=60°，
∵∠AOC=90°=∠BAC，
∴∠OAC=∠BOE=30°，
∴OE=3，BE=$\sqrt{3}$，
∴B（3，$\sqrt{3}$），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点B，
∴k=xy=3$\sqrt{3}$；

（2）D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上；
理由：过D作DF⊥x轴于F
∵∠BAD=90°，∠B=60°，
∴∠ADB=30°，
∴∠ADO=∠OAD=30°
∴OD=OA=2$\sqrt{3}$，
又∵∠FOD=30°，
∴OF=3，DF=$\sqrt{3}$，
∴D（-3，-$\sqrt{3}$），
∵-3×（-$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$=k
∴D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点，等边三角形的性质，直角三角函数的应用，待定系数法求解析式等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．