Question

17．在正方形ABCD中，点P是射线BC上任意一点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作AP的垂线交正方形的外角∠DCF的平分线于点E．
（1）如图1，当点P在BC边上时，判断线段AP、PE的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE交CD的延长线于点G，连接GP，请写出三条线段GP、BP、GD的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠AHP=∠PCE，再利用互余判断出∠BAP=∠CPE，进而判断出△AHP≌△PCE（ASA），即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）先构造全等三角形，判断出AQ=AQ，∠BAQ=∠DAG，进而判断出△PAQ≌△PAG即可得出PG=PQ，最后用等量代换即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
在正方形的边AB上取一点H，使BH=BP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCF=90°，AB=CB，
∴AH=PC，∠BHP=45°，
∴∠AHP=135°，
∵CE是∠DCF的平分线，
∴∠ECF=45°，
∴∠PCE=135°，
∴∠AHP=∠PCE，
∵AP⊥PE，
∴∠APB+∠EPC=90°，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
在△AHP和△PCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAH=∠EPC}\\{AH=PC}\\{∠AHP=∠PCE}\end{array}\right.$，
∴△AHP≌△PCE（ASA），
∴AP=PE；

（2）AP=PE，
理由：如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCF=90°，AB=AC，
在BA的延长线上取一点H，使BH=BP，
∴AH=CP，
在△HBP中，BH=BP，
∴∠BHP=45°，
∵CE是∠DCF的平分线，
∴∠PCE=45°，
∴∠AHP=∠PCE=45°，
∵AP⊥PE，
∴∠EPF+∠APB=90°，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EPF，
∵∠BAP+∠HAP=180°，∠EPF+∠CPE=180°，
∴∠HAP=∠CPE，
在△HAP和△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHP=∠PCE}\\{AH=PC}\\{∠HAP=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△HAP≌△CPE（ASA），
∴AP=PE，

（3）PG+DG=PB，
理由：如图3，在BC上取一点Q，使BQ=DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=∠ADG=90°，AB=AD，
∴△ABQ≌△ADG（SAS），
∴AQ=AQ，∠BAQ=∠DAG，
∴∠GAQ=90°，
由（2）知，AP=EP，
∵∠APE=90°，
∴∠PAE=45°，
∴∠PAQ=45°=∠PAG，
在△PAQ和△PAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AG}\\{∠PAQ=∠PAG=45°}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△PAQ≌△PAG，
∴PQ=PG，
∵PQ=PB-BQ=PB-DG，
∴PG=PB-DG，
即：PG+DG=PB．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，垂直的意义，全等三角形的判定和性质，角平分线的意义，解本题的关键是构造全等三角形，是一道中考常考题．