Question

13．某商店经营儿童玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨2元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时，月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2280元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大为多少元？

Answer 1

分析 （1）根据利润=销售数量×每件的利润，列出式子即可解决问题．
（2）利用（1）的关系式，y=2280，解方程即可解决问题．
（3）利用配方法，根据函数的增减性即可解决问题．

解答 解：（1）y=（30+x-20）（200-10×$\frac{x}{2}$）=-5x²+150x+2000．（0＜x≤10）．

（2）y=2280时，-5x²+150x+2000=2280，
整理得到x²-30x+56=0，
解得x=2或28（舍弃），
∴售价定为32元时，月销售利润恰为2280元．

（3）∵y=-5x²+150x+2000=-5（x-15）²+3125，
∴x＜15时，y随x增大而增大，
∵0＜x≤10，
∴x=10时，y_最大值=3000，
∴每件玩具的售价定为40元时，月销售利润达到最大，最大值为3000元．

点评 本题考查二次函数的应用、利润、销售数量、单价、进价之间的关系，解题的关键是学会构建二次函数，利用函数的性质解决问题，属于中考常考题型．