如图.抛物线y=a(x-2)2+h与x轴交于A(6.0)和B两点.与y轴交于点C.点M从点B出发以每秒2个单位的速度向点A运动.设运动时间为t秒.过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P.再以线段PM为斜边作Rt△PMN.点N在x轴上．(1)求抛物线的表达式,(2)求Rt△PMN的斜边PM的长.并求当Rt△PMN的顶点P与AC的中点D重合时t的值,的条件下.在△AOC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图，抛物线y=a（x-2）²+h与x轴交于A（6，0）和B两点，与y轴交于点C（0，2$\sqrt{3}$），点M从点B出发以每秒2个单位的速度向点A运动，设运动时间为t秒，过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，再以线段PM为斜边作Rt△PMN，点N在x轴上．

（1）求抛物线的表达式；
（2）求Rt△PMN的斜边PM的长（用含有t的代数式表示），并求当Rt△PMN的顶点P与AC的中点D重合时t的值；
（3）在（2）的条件下，在△AOC的内部作矩形DEOF，点E，F分别在x轴和y轴上，设Rt△PMN和矩形DEOF重叠部分的面积为S，当运动时间在0≤t≤2范围内时，求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

分析（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）当点P与点D重合时（如图1中），点N与点E重合，此时PN=$\sqrt{3}$，根据PM=$\frac{1}{2}$AM=4-t列出方程即可解决．
（3）分三种情形①如图1中，当0≤t$≤\frac{1}{2}$时，设PN交DF于点H，重叠部分S为矩形FONH的面积，②如图2中，当$\frac{1}{2}$＜t＜1时，设PM交DF于点G，交FO于点K，PN交DF于点H，则重叠部分S为五边形ONHGK的面积，③如图3中，当1≤1≤2时，设PM交DF于点G，PN交DF于点H，则重叠部分S为四边形MNHG的面积，
分别求解即可，再根据函数性质求出最大值．

解答解：（1）∵抛物线y=a（x-2）²+h过A（6，0）和C（0，2$\sqrt{3}$），则$\left\{\begin{array}{l}{4a+h=2\sqrt{3}}\\{16a+h=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{6}}\\{h=\frac{8\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-2）²+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵$OB=2，OC=2\sqrt{3}$，OA=6，
∴∠CBA=60°，∠BAC=30°，
∵BC∥PM，
∴∠APM=∠ACB=90°，∠PMA=60°，
∵BM=2t，
∴AM=8-2t，PM=$\frac{1}{2}$AM=4-t，
∵D是AC中点，
∴DE=$\sqrt{3}$，
当点P与点D重合时（如图1中），点N与点E重合，此时PN=$\sqrt{3}$，
∴PM=2，即4-t=2，
∴t=2．
（3）∵四边形DEOF是矩形，
∴DE=OF=$\sqrt{3}$，
由（2）可知BM=2t，PM=4-t，
∴MN=$\frac{1}{2}$PM=2-$\frac{1}{2}$t，
BN=2t+2-$\frac{1}{2}$t=2+$\frac{3}{2}$t，ON=BN-BO=$\frac{3}{2}$t．
①如图1中，当0≤t$≤\frac{1}{2}$时，设PN交DF于点H，重叠部分S为矩形FONH的面积，
∴S=ON•OF=$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$t=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t，
∵S随t的增大而增大，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，S_最大=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
②如图2中，当$\frac{1}{2}$＜t＜1时，设PM交DF于点G，交FO于点K，PN交DF于点H，则重叠部分S为五边形ONHGK的面积，
∵MO=2-2t，
∴KO=（2-2t）tan60°=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，
∴FK=$\sqrt{3}$-（2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t）=$\sqrt{3}$（2t-1），
S=S_矩形ONHF-S_△FGK=$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2t-1）（2t-1）=-2$\sqrt{3}$t²+$\frac{7\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-2$\sqrt{3}$（t-$\frac{7}{8}$）²+$\frac{33\sqrt{3}}{32}$，
∴当t=$\frac{7}{8}$时，S_最大=$\frac{33\sqrt{3}}{32}$．
③如图3中，当1≤1≤2时，设PM交DF于点G，PN交DF于点H，则重叠部分S为四边形MNHG的面积，
∵PN=PMcos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），∴PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t）-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴GH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=1-$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{2}$t）+（2-$\frac{1}{2}$t）]×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
∴S随t增大而减小，
∴t=1时，S_最大=$\sqrt{3}$．
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{3}}{2}t}&{（0≤t≤\frac{1}{2}）}\\{-2\sqrt{3}{t}^{2}+\frac{7\sqrt{3}}{2}t-\frac{\sqrt{3}}{2}}&{（\frac{1}{2}＜t＜1）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}t+\frac{3\sqrt{3}}{2}}&{（1≤t≤2）}\end{array}\right.$，且t=$\frac{7}{8}$时，S_最大=$\frac{33\sqrt{3}}{32}$．