Question

13．如图，在⊙O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．
（1）求证：BC为⊙O的切线．
（2）若sinA=$\frac{3}{5}$，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠E，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC=90°，然后根据切线的定义证明即可；
（2）根据∠A的正弦求出AC，利用勾股定理列式计算求出AB，然后求解即可．

解答 （1）证明：∵∠A与∠E所对的弧都是$\widehat{BD}$，
∴∠A=∠E，
又∵∠E+∠C=90°，
∴∠A+∠C=90°，
在△ABC中，∠ABC=180°-90°=90°，
∵AB为直径，
∴BC为⊙O的切线；

（2）解：∵sinA=$\frac{3}{5}$，BC=6，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
即$\frac{6}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
解得AC=10，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵AB为直径，
∴⊙O的半径是$\frac{1}{2}$×8=4．

点评 本题考查了切线的判定，锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记切线的概念并求出直角是解题的关键．