Question

12．如图，在△ABC中，AC=BC，∠CAB=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D，⊙O是△ACD的外接圆．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）CE平分∠ACD交⊙O于点E，若CD=1，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据CD⊥AC得出AD是⊙O的直径再由等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=30°，故∠COB=60°．根据三角形内角和定理得出∠OCB=90°，由此可得出结论；
（2）连接DE，由角平分线的性质得出∠ACE=∠DCE，故可得出$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，AE=DE，再由勾股定理即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD⊥AC，
∴AD是⊙O的直径．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠COB=60°．
∵AC=BC，∠CAB=30°，
∴∠B=30°，
∴∠OCB=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：连接DE，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，CD=1，
∴AD=2CD=2，
∵CE平分∠ACD交⊙O于点E，
∴∠ACE=∠DCE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，
∴AE=DE．
设AE=x，由勾股定理得，x²+x²=2²，解得x=$\sqrt{2}$，即AE=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用三角形内角和定理及勾股定理求解是解答此题的关键．