Question

10．问题情境
已知矩形的面积为S（S为常数，S＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+$\frac{S}{x}$）（x＞0）
探索研究
我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象性质．
①列表：

x	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…	$\frac{17}{4}$	m	$\frac{5}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	$\frac{10}{3}$	$\frac{17}{4}$	…

表中m=$\frac{10}{3}$；
②描点：如图所示；
③连线：请在图中画出该函数的图象；
④观察图象，写出两条函数的性质；函数有最小值2；当x＞1时，y随x的增大而增大
解决问题
在求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．同样通过配方也可以求函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值．
y=x+$\frac{1}{x}$=${（\sqrt{x}）}^{2}$+${（\sqrt{\frac{1}{x}}）}^{2}$=${（\sqrt{x}）}^{2}$+${（\sqrt{\frac{1}{x}}）}^{2}$-2$\sqrt{x}$•$\sqrt{\frac{1}{x}}$+2$\sqrt{x}$•$\sqrt{\frac{1}{x}}$=${（\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}）}}^{2}$+2
∵${（{\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}}}）^2}$≥0，∴y≥2
∴当$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{1}{x}}$=0，即x=1时，y_最小值=2
请类比上面配方法，直接写出“问题情境”中的问题答案．

Answer 1

分析 探索研究①计算自变量为$\frac{1}{3}$时的函数值即可得到m值；③如图，利用平滑的曲线顺次连接各点可得到函数图象；④利用函数图象，从最值或增减性写出图象的性质；
解决问题：利用配方法得到y=2（$\sqrt{x}$-$\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{x}}$）²+4$\sqrt{S}$，然后根据二次函数的性质解决问题．

解答 解：探索研究
①当x=$\frac{1}{3}$时，m=$\frac{1}{3}$+3=$\frac{10}{3}$；
③如图，

④性质：函数有最小值2；当x＞1时，y随x的增大而增大；
故答案为$\frac{10}{3}$；函数有最小值2；当x＞1时，y随x的增大而增大；
解决问题
y=2（x+$\frac{S}{x}$）=2（$\sqrt{x}$-$\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{x}}$）²+4$\sqrt{S}$，
当$\sqrt{x}$-$\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{x}}$=0时，即x=$\sqrt{S}$，y有最大值4$\sqrt{S}$，
所以该矩形的长为$\sqrt{S}$时，它的周长最小，最小值是4$\sqrt{S}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：从实际问题中分析变量之间的关系，建立函数模型．然后类比二次函数的性质，通过观察、分析、创建，建立直角坐标系下的函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．