Question

如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．
（1）直接写出AE与BC的位置关系；
（2）求证：△BCG∽△ACE；
（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．

Answer 1

考点：圆的综合题,角平分线的性质,等腰三角形的判定,含30度角的直角三角形,勾股定理,圆周角定理,切线的性质,相似三角形的判定

专题：几何综合题

分析：（1）由AB为⊙O的直径即可得到AE与BC垂直．
（2）易证∠CBF=∠BAE，再结合条件∠BAF=2∠CBF就可证到∠CBF=∠CAE，易证∠CGB=∠AEC，从而证到△BCG∽△ACE．
（3）由∠F=60°，GF=1可求出CG=

3

；连接BD，容易证到∠DBC=∠CBF，根据角平分线的性质可得DC=CG=

3

；设圆O的半径为r，易证AC=AB，∠BAD=30°，从而得到AC=2r，AD=

3

r，由DC=AC-AD=

3

可求出⊙O的半径长．

解答：解：（1）如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴AE⊥BC．

（2）如图1，
∵BF与⊙O相切，
∴∠ABF=90°．
∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE．
∵∠BAF=2∠CBF．
∴∠BAF=2∠BAE．
∴∠BAE=∠CAE．
∴∠CBF=∠CAE．
∵CG⊥BF，AE⊥BC，
∴∠CGB=∠AEC=90°．
∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，
∴△BCG∽△ACE．

（3）连接BD，如图2所示．
∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，
∴∠DBE=∠CBF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴BD⊥AF．
∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，
∴CD=CG．
∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，
∴tan∠F=

CG

GF

=CG=tan60°=

3

∵CG=

3

，
∴CD=

3

．
∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，
∴∠BAF=30°．
∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，
∴AB=2BD．
∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，
∴∠ABE=∠ACE．
∴AB=AC．
设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r．
∵∠ADB=90°，
∴AD=

3

r．
∴DC=AC-AD=2r-

3

r=（2-

3

）r=

3

．
∴r=2

3

+3．
∴⊙O的半径长为2

3

+3．

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定、角平分线的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，有一定的综合性．连接BD，证到∠DBC=∠CBF是解决第（3）题的关键．