Question

13．已知：在△ABC中，D为BC中点，且∠BAD=90°，tan∠B=$\frac{1}{3}$，求sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD的值．

Answer 1

分析 延长AD到E，使DE=AD，连接CE，证得△ABD≌△CDE，得到∠E=∠BAD=90°，CE=AB，由于tan∠B=$\frac{1}{3}$，设CE=AB=3k，AD=DE=k，则AE=2k，根据勾股定理求得AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$k，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
在△ABD与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADB=∠CDE}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDE，
∴∠E=∠BAD=90°，CE=AB，
∵tan∠B=$\frac{1}{3}$，
∴设CE=AB=3k，AD=DE=k，
则AE=2k，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$k，
∴sin∠CAD=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{3k}{\sqrt{13}k}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
cos∠CAD=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2k}{\sqrt{13}k}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
tan∠CAD=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{3k}{2k}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形，线段中点的定义，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．