Question

10．在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=45°，点D是边AB上任意一点，连接CD．若∠BCD=15°，以线段CD为边在CD的有上方作正△CDE，连接BE，点F在线段CD上，且CF=BD，连接BF．求证：BE=BF．

Answer 1

分析 连接EF，根据已知条件得到∠CDA=60°，由∠A=60°，推出△ACD为等边三角形，证得∠CDA=60°，由于△CDE是等边三角形，CE=DE，得到∠ECD=∠CDE=60°，根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，EF=EB，推出△EFB是等边三角形，于是得到BE=BF．

解答 证明：连接EF，
∵∠ABC=45°，∠BCD=15°，
∴∠CDA=60°，
∵∠A=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠CDA=60°，
∵△CDE是等边三角形，CE=DE，
∴∠ECD=∠CDE=60°，
∴∠EDB=180°-∠CDA-∠CDE=60°，
在△ECF与△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=DE}\\{∠ECF=∠EDB=60°}\\{CF=BD}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△EDB，
∴∠1=∠2，EF=EB，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠1+∠3=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∵EF=EB，
∴△EFB是等边三角形，
∴BE=BF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．