Question

15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）求证：AD+BC=AB；
（3）若S_△ABE=4，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）延长AE交BC的延长线于M，由平行线的性质和角平分线得出∠BAE=∠M，证出AB=MB，由等腰三角形的性质得出∠ABE=∠CBE即可；
（2）由等腰三角形的性质得出AE=ME，DE=CE，由SAS证明△ADE≌△MCE，得出AD=MC，即可得出结论；
（3）证出△MBE的面积=△ABE的面积=4，得出△ABM的面积=8，由全等三角形的性质得出△ADE的面积=△MCE的面积，得出梯形ABCD的面积=△ABM的面积=8即可．

解答 （1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠M=∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠M，
∴AB=MB，
∵AE⊥BE，
∴∠ABE=∠CBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）证明：∵AB=MB，BE⊥AE，
∴AE=ME，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△MCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=ME}&{\;}\\{∠AED=∠MEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE（SAS），
∴AD=MC，
∴AD+BC=MC+BC=MB=AB；
（3）解：∵AB=MB，AE=ME，
∴△MBE的面积=△ABE的面积=4，
∴△ABM的面积=2×4=8，
∵△ADE≌△MCE，
∴△ADE的面积=△MCE的面积，
∴梯形ABCD的面积=△ABM的面积=8．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、梯形面积的计算；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．