Question

20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD与CE相交于点F，FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分别为G，H，求证：FE=FD．

Answer 1

分析 根据条件可得到FG=FH，再根据角的度数可求得∠HEF=75°=∠GDF，可证明△EFG≌△DFH，可得到FE=FD．

解答 证明：连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴GF=FH，∠DHF=∠EGF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠HFC=45°，∠GFH=120°，
∴∠GFE=15°，
∴∠GEF=75°=∠HDF，
在△DHF和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHF=∠EGF}\\{∠HDF=∠GEF}\\{HF=GF}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△EGF（AAS），
∴FE=FD．

点评 本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，利用所给的角度求得∠MEF=75°=∠NDF是解题的关键．