Question

10．如图，已知O为△ABC的外心，P为弧$\widehat{AB}$上一点，过P分别作OA、OB的垂线，它们与△ABC各边的交点如图，若PM=MS，求证：PN=NT．

Answer 1

分析 如图，连接PB、PA，延长PT交⊙O于E，延长PS交⊙O于F，首先证明PN=PM，由△PBN∽△APM，△NTB∽△MAS，推出PM²=SM•NT，根据PM=PN=SM，即可证明．

解答 证明：如图，连接PB、PA，延长PT交⊙O于E，延长PS交⊙O于F．

∵OB⊥PE，OA⊥PF，
∴$\widehat{PB}$=$\widehat{PE}$，$\widehat{PA}$=$\widehat{AF}$，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠5=∠1+∠4，∠6=∠2+∠3，
∴∠5=∠6，△PBN∽△APM，
∴PN=PM，$\frac{PN}{AM}$=$\frac{BN}{AM}$，
∴PM²=BN•AM，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{PB}$+$\widehat{PA}$=$\widehat{BE}$+$\widehat{PA}$，
∴∠C=∠1+∠4，
∵∠4+∠CBA+∠1+∠4=180°，∠C+∠CBA+∠CAB=180°，
∴∠4=∠CAB，
∵∠5=∠BNT，∠6=∠AMS，
∴△NTB∽△MAS，
∴$\frac{BN}{SM}$=$\frac{NT}{AM}$，
∴SM•NT=BN•AM，
∴PM²=SM•NT，
∵PM=SM=PN，
∴PN²=PN•NT，
∴PN=NT．

点评 本题考查三角形外接圆-外心、相似三角形的判定和性质，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线、构造相似三角形解决问题，题目比较难，用了两次相似，属于竞赛类题目．