Question

如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE=∠ABD．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=12，sin∠CDE=

5

13

，求圆O的半径和AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OD，如图，根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得∠ADO+∠ODB=90°，再由OB=OD得∠OBD=∠ODB，则∠ADO+∠ABD=90°，由于∠CDE=∠ABD，所以∠ADO+∠CDE=90°，然后根据平角的定义得∠ODE=90°，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）由于∠CDE=∠ABD，则sin∠CDE=sin∠ABD=

5

13

，在Rt△ABD中，根据正弦的定义得sin∠ABD=

AD

AB

=

5

13

，设AD=5x，则AB=13x，由勾股定理得BD=12x，所以12x=12，解得x=1，得到AB=13，则圆O的半径为

13

2

；再连结OC，如图，由于CA=CB，OA=OB，根据等腰三角形的性质得CO⊥AB，则利用等角的余角相等可得到∠ACO=∠ABD，然后在Rt△ACO中，利用∠ACO的正弦可计算出AC的长．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ADO+∠ABD=90°，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CDE=∠ABD，
∴sin∠CDE=sin∠ABD=

5

13

，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=

AD

AB

=

5

13

，
设AD=5x，则AB=13x，
∴BD=

AB2-AD2

=12x，
∴12x=12，解得x=1，
∴AB=13，
∴圆O的半径为

13

2

；
连结OC，如图，
∵CA=CB，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABD，
在Rt△ACO中，∵sin∠ACO=

OA

AC

=

5

13

，
∴AC=

13

5

×

13

2

=

169

10

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．