Question

17．△ABC中，BC＞AC，CD平分∠ACB交于AB于D，E，F分别是AC，BC边上的两点，EF交于CD于H，
（1）如图1，若∠EFC=∠A，求证：CE•CD=CH•BC；
（2）如图2，若BH平分∠ABC，CE=CF，BF=3，AE=2，求EF的长；
（3）如图3，若CE≠CF，∠CEF=∠B，∠ACB=60°，CH=5，CE=4$\sqrt{3}$，求$\frac{AC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ECH∽△BCD，可得$\frac{EC}{BC}$=$\frac{CH}{CD}$，即可推出CE•CD=CH•BC；
（2）如图2中，连接AH．只要证明△AEH∽△HFB，可得$\frac{AE}{HF}$=$\frac{EH}{FB}$，推出FH²=6，推出HE=HF=$\sqrt{6}$，即可解决问题．
（3）只要证明△ECF∽△BCA，求出CF即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，
∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，
∴△ECH∽△BCD，
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{CH}{CD}$，
∴CE•CD=CH•BC．

（2）解：如图2中，连接AH．

∵BH、CH都是△ABC的角平分线，
∴AH是△ABC的角平分线，
∴∠BHC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°+$\frac{1}{2}$BAC=90°+∠HAE，
∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，
∴CH⊥EF，HF=HE，
∴∠CHF=90°，
∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，
∴∠HAE=∠BHF，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AEH=∠BFH，
∴△AEH∽△HFB，
∴$\frac{AE}{HF}$=$\frac{EH}{FB}$，
∴FH²=6，
∴HE=HF=$\sqrt{6}$，
∴EF=2$\sqrt{6}$．

（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．

∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，
∴HM=HN=$\frac{5}{2}$，CM=CN=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵CE=4$\sqrt{3}$，
∴EM=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，EH=$\sqrt{E{M}^{2}+H{M}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵S_△HCF：S_△HCE=FH：EH=FC：EC，
∴x：$\sqrt{13}$=（y+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）：4$\sqrt{3}$   ①，
又∵x²=y²+（$\frac{5}{2}$）²，
解得y=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（舍弃），
∴CF=$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
∵∠CEF=∠B，∠ECF=∠ACB，
∴△ECF∽△BCA，
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CF}{EC}$=$\frac{\frac{20\sqrt{3}}{7}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．