Question

2．设函数y=kx²+（2k+1）x+1（k为实数）
（1）写出其中的两个特殊的函数，使它们的图象不全是抛物线，并求出它们的交点坐标；
（2）对任意的k，函数图象都经过定点，直接写出所有定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）令k=0或1，分别得到两个特殊函数，把解析式联立方程，解方程即可求得交点坐标；
（2）根据题意得到kx²+（2k+1）x+1-y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

解答 解：（1）如两个函数为y=x+1，y=x²+3x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}+3x+1}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$
∴交点为（-2，-1），（0，1）；
（2）依题意得kx²+（2k+1）x+1-y=0恒成立，即k（x²+2x）+x-y+1=0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$．
所以该抛物线必过定点（0，1）、（-2，-1）．

点评 本题考查了二次函数的性质、函数图象交点的求法以及二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数与二元二次方组的关系和二次函数的性质是解题的关键．