Question

2．创建文明城市，人人参与，人人共建．我市各校积极参与创建活动，自发组织学生走上街头，开展文明劝导活动．某中学九（一）班为此次活动制作了大小、形状、质地等都相同的“文明劝导员”胸章和“文明监督岗”胸章若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出“文明劝导员”胸章的概率为$\frac{1}{3}$；若班长从盒中取出“文明劝导员”胸章3只、“文明监督岗”胸章7只送给九（二）班后，这时随机取出“文明劝导员”胸章的概率为$\frac{2}{5}$．
（1）请你用所学知识计算：九（一）班制作的“文明劝导员”胸章和“文明监督岗”胸章各有多少只？
（2）若小明一次从盒内剩余胸章中任取2只，问恰有“文明劝导员”胸章、“文明监督岗”胸章各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）

Answer 1

分析 （1）设九（一）班制作的“文明劝导员”胸章和“文明监督岗”胸章分别为x只、y只，由题意列方程组解答即可；
（2）由（1）可知盒中剩余的“文明劝导员”胸章和“文明监督岗”胸章分别为2只、3只，我们不妨把两只“文明劝导员”胸章记为a₁、a₂；3只“文明监督岗”胸章记为b₁、b₂、b₃，列表解答即可．

解答 解：（1）设九（一）班制作的“文明劝导员”胸章和“文明监督岗”胸章分别为x只、y只，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{x+y}=\frac{1}{3}}\\{\frac{x-3}{x-3+y-7}=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=10}\end{array}\right.$ 经检验符合题意，
所以九（一）班制作了“文明劝导员”胸章5只、“文明监督岗”胸章10只；
（2）由题可知，盒中剩余的“文明劝导员”胸章和“文明监督岗”胸章分别为2只、3只，我们不妨把两只“文明劝导员”胸章记为a₁、a₂；3只“文明监督岗”胸章记为b₁、b₂、b₃，则可列出表格如下：

	a1	a2	b1	b2	b3
a1		a1 a2	a1b1	a1b2	a1b3
a2	a2 a1		a2 b1	a2 b2	a2 b3
b1	b1 a1	b1a2		b1 b2	b1 b3
b2	b2 a1	b2a2	b2b1		b2 b3
b3	b3 a1	b3a2	b3b1	b3b2

∴问恰有“文明劝导员”胸章、“文明监督岗”胸章各1只的概率=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．