如图.已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形.点D在AC上.M为EC的中点．(1)求证:△BDM为等腰直角三角形, (2)将△ADE绕点A逆时针旋转45°.其他条件不变.结论是否依然成立?将△ADE绕点A逆时针旋转90°.其他条件不变.结论是否依然成立?将△ADE绕点A逆时针旋转135°.其他条件不变.结论是否依然成立?以上三种情况请你选择一种情况.画出相应的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D在AC上，M为EC的中点．
（1）求证：△BDM为等腰直角三角形；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，其他条件不变，结论是否依然成立？
将△ADE绕点A逆时针旋转90°，其他条件不变，结论是否依然成立？
将△ADE绕点A逆时针旋转135°，其他条件不变，结论是否依然成立？
以上三种情况请你选择一种情况，画出相应的图形，并证明你的结论．

分析（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根据等边对等角的性质可以证明∠BMD=90°，所以△BMD为等腰直角三角形；
（2）①延长DM交BC于N，只要证明△EDM与△MNC全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=MN，然后即可证明BM⊥DM，且BM=DM．
②延长DM与BC交于点N，只要证明△MDE≌△MFC和△BCF≌△BAD即可．
③作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，只要证明△MDE≌△MFC和△DBA≌△NBC即可．

解答（1）证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$EC=MC，
∴∠MBC=∠MCB，
∴∠BME=2∠BCM．
同理可证：DM=$\frac{1}{2}$EC=MC，∠EMD=2∠MCD，
∴∠BMD=2∠BCA=90°，
∴BM=DM，
∴△BMD是等腰直角三角形．
（2）如图1，①结论仍然成立．
理由：延长DM与BC交于点N，
∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EDB=∠CBD=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCN，
又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，
∴△EDM≌△MNC，
∴DM=MN，DE=NC=AD，
又AB=BC，
∴AB-AD=BC-CN，
∴BD=BN，
∴BM⊥DM．即∠BMD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴BM=$\frac{1}{2}$N=DM．
∴△BMD是等腰直角三角形．
答：△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，
②如图2，结论仍然成立．
理由是：作DM的延长线交AC于点F，连接BF，
∵∠EDA=∠DAC=90°
∴DE∥CF，
∴∠DEM=∠FCM，
在△EMD和△CMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠FCM}\\{EM=CM}\\{∠EMD=∠FMC}\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
在△BDA和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BDA=∠BCF=45°}\\{AD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
∴BM⊥MF，BM=MF，∠BFM=45°，
∴△BMD是等腰直角三角形
③如图3，结论仍然成立．
证明：作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，
∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°，
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°，
∴∠DAB=∠BCN，
在△DBA和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=CN}\\{∠DAB=∠BCN}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBA≌△NBC（SAS），
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=$\frac{1}{2}$∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．