Question

9．如图，AB与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，且AC=6，CD∥BO，CD交⊙O于D，连接BD．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若BO+CD=11，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明BD与⊙O相切，只要证明∠BDO=∠BAO=90°，可以通过证明△BOA≌△BOD即可证明．
（2）连接AD，设CD=a，BO=b，想办法列出方程组，最后在RT△AOB中利用勾股定理解决．

解答 （1）证明：连接OD．
∵AB是⊙O切线，
∴∠BAO=90°，
∵CD∥OB，
∴∠AOB=∠C，∠ODC=∠BOD，
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC，
∴∠BOA=∠BOD，
在△BOD和△BOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=BO}\\{∠BOA=∠BOD}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOA≌△BOD，
∴∠BDO=∠BAO=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD是⊙O的切线．
（2）连接AD，设CD=a，BO=b，
∵AC是直径，
∴∠ADC=∠BA0=90°，
∵∠AOB=∠C，
∴△OAB∽△CDA，
∴$\frac{OA}{CD}$=$\frac{OB}{AC}$，
∴$\frac{3}{a}$=$\frac{b}{6}$，
∴ab=18，又a+b=11，
∴a=2，b=9或a=9，b=2（舍弃），
∴CD=2，OB=9，
在RT△AOB中，∵∠OAB=90°，OB=9，OA=3，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}-{3}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会转化的思想，把问题转化为方程组解决，属于中考常考题型．