如图.在平面直角坐标系中.已知矩形ABCD的三个顶点B.抛物线y=ax2+bx过A.C两点.动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动.同时点Q从点C出发.沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E．(1)直接写出点A的坐标.并求出抛物线的解析式．(2)过点E作EF⊥AD于点F.交抛物线于点G.当t为何值时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0），C（8，0），D（8，8），抛物线y=ax²+bx过A，C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式．
（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，△AGC的面积最大？最大值为多少？
（3）连接EQ，在点P，Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由．

分析（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；
（2）根据相似三角形的性质，可得PE、PB的长，可得E点坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得GE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．

解答解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=8}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x；
（2）∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，$\frac{PE}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{PE}{4}$=$\frac{AP}{8}$，PE=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t，PB=8-t，
E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），G点的坐标为（4+$\frac{1}{2}$t，-$\frac{1}{8}$t²+8），
GE=（-$\frac{1}{8}$t²+8）-（8-t）=-$\frac{1}{8}$t²+t，
S_△AGC=$\frac{1}{2}$GE•（x_C-x_A）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{8}$t²+t）（8-4）=-$\frac{1}{4}$（t-4）²+4，
当t=4时，△AGC的面积最大，最大值为4；
（3）①当EQ=QC时，∵Q（8，t），E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=t²．
整理得13t²-144t+320=0，
解得t=$\frac{40}{13}$或t=$\frac{104}{13}$=8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
②当EC=CQ时，
因为E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²=t²．
整理得t²-80t+320=0，t=40-16$\sqrt{5}$，t=40+16$\sqrt{5}$＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
③当EQ=EC时，
因为Q（8，t），E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²，
解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=$\frac{16}{3}$．
于是t₁=$\frac{16}{3}$，t₂=$\frac{40}{13}$，t₃=40-16$\sqrt{5}$．