Question

已知矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图，点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，-3），直线y=-

3

4

x与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标．
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式．
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式,矩形的性质,梯形

专题：综合题

分析：（1）由四边形OABC是矩形及点C的坐标可得点D的纵坐标，就可求出点D的坐标．
（2）用待定系数法就可求出抛物线的解析式．
（3）分别以OA、OD、AD为梯形的底边进行讨论，求出过点M的底边所在直线的解析式，然后求出该直线与抛物线的交点就是所求点M的坐标．

解答：解：（1）如图1，

∵四边形OABC是矩形，点C的坐标为（0，-3），
∴y_D=y_C=-3．
∴-

3

4

x_D=-3．
解得：x_D=4．
∴点D的坐标为（4，-3）．

（2）∵点O（0，0）、点A（6，0）、点D（4，-3）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴

c=0 36a+6b+c=0 16a+4b+c=-3

．
解得：

a= 3 8 b=- 9 4 c=0

．
∴该抛物线的解析式为y=

3

8

x²-

9

4

x．

（3）①若OA为梯形的底边，如图2，

则有DM∥OA．
∴y_M=y_D=-3．
∴

3

8

x_M²-

9

4

x_M=-3．
解得：x₁=2，x₂=4．
∴点M的坐标为（2，-3）．
②若OD为梯形的底边，如图3，

则有AM∥OD．
设AM的解析式为y=-

3

4

x+b，
则有-

3

4

×6+b=0．
解得：b=

9

2

．
∴AM的解析式为y=-

3

4

x+

9

2

．
联立

y=- 3 4 x+ 9 2 y= 3 8 x2- 9 4 x

解得：

x=6 y=0

或

x=-2 y=6

∴点M的坐标为（-2，6）．
③若AD为梯形的底边，如图4，

则有OM∥AD．
同理可得：点M的坐标为（10，15）．
综上所述：符合条件的点M的坐标为（2，-3）或（-2，6）或（10，15）．

点评：本题考查了用待定系数法求抛物线及直线的解析式、梯形的性质、抛物线与直线的交点、矩形的性质等知识，考查了分类讨论的思想，由一定的综合性．