Question

6．如图，△AOB中，∠AOB=120°，BD，AC是两条高，连接CD，若AB=4，则DC的长为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由△MAC∽△MBD推出△MDC∽△MBA得$\frac{DC}{AB}=\frac{MD}{MB}$=$\frac{1}{2}$即可解决问题．

解答 解：如图延长AD、BC交于点M．
∵∠AOB=120°，
∴∠DOA=∠COB=60°，
∵AD⊥BD，AC⊥BC，
∴∠ADM=∠MDB=∠ACB=∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠MBD=30°，
∴△MAC∽△MBD，
∴$\frac{MA}{MB}=\frac{MC}{MD}$，
∴$\frac{MA}{MC}=\frac{MB}{MD}$，∠M=∠M，
∴△MDC∽△MBA，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{MD}{MB}$，
在RT△MBD中，∵∠MBD=30°，
∴MB=2MD，
∵AB=4，
∴$\frac{DC}{4}=\frac{1}{2}$，
∴DC=2．
故选B．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的性质，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键．