在平面直角坐标系中.已知点O为坐标原点.直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴.y轴分别相交于A.B两点.动点D.E分别从A.B两点同时出发.沿坐标轴向终点O运动．过点E作x轴的平行线与直线AB相交于点F.点D.E的运动速度分别是每秒1个单位长度.每秒$\sqrt{3}$个单位长度.它们的运动时间为t秒．(1)如图1.连接DE.设四边形ADEF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别相交于A、B两点，动点D、E分别从A、B两点同时出发，沿坐标轴向终点O运动．过点E作x轴的平行线与直线AB相交于点F，点D、E的运动速度分别是每秒1个单位长度、每秒$\sqrt{3}$个单位长度，它们的运动时间为t秒．
（1）如图1，连接DE，设四边形ADEF的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（2）如图2，抛物线y=a（x-k）²+h（a＜0）经过点E，与直线EF相交于另一点G，它的对称轴l经过点A，顶点为M，连接BG、DF，当∠ADF=90°，且顶点M恰好落在BG上时，求这条抛物线的解析式；
（3）如图3，将（2）中的抛物线向左平移1个单位长度，得到一条新的抛物线，此抛物线与x轴相交于点R，Q（R在Q的左侧），与y轴相交于点H，在第二象限内新抛物线上有一个动点P，连接PQ、PH、点C为线段PQ的中点，连接CR，与y轴相交于点N．过点P作y轴的平行线与CR相交于点K，当四边形PKNH是平行四边形时，求点P的坐标．

分析（1）根据S=S_△ABO-S_△EOD即可解决．
（2）由题意△ADF是特殊RT△，根据DF=$\sqrt{3}$AD列出方程可以求出t，进而求出点E、G，再求出直线BG，求出点M即可解决．
（3）设点P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，），则PQ中点C（$\frac{m+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²+$\frac{3\sqrt{3}}{8}$），求出直线RC，用m表示线段PK，HN，根据PK=HN列出方程解方程即可．

解答解：（1）∵直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴交于A（1，0），与y轴交于B（0，$\sqrt{3}$），
∴S=S_△ABO-S_△EOD=$\frac{1}{2}$×$1×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$（1-t）（\sqrt{3}-\sqrt{3}t）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-$\sqrt{3}$t（0≤t≤1）．
（2）∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$M
∴∠BAO=60°，
∵∠FDA=90°，
∴DF∥OE，EF∥OD，
∴四边形EFDO是平行四边形，
∵∠EOD=90°，
∴四边形EFDO是矩形，
∴DF=EO=$\sqrt{3}$AD，
∴$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=$\sqrt{3}$t
∴t=$\frac{1}{2}$，
∴点E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设直线BG为y+kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{2k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{4}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BG为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$，
∴顶点M（1，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
∴抛物线为：y=a（x-1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，把点E代入得a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴抛物线为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（3）如图3中，由题意新抛物线为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵y=0得到x=$±\sqrt{3}$，
∴R（-$\sqrt{3}$，0），Q（$\sqrt{3}$，0），H（0，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
设P（m，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，），则PQ中点C（$\frac{m+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²+$\frac{3\sqrt{3}}{8}$），
设直线RC为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}k+b=0}\\{\frac{m+\sqrt{3}}{2}k+b=-\frac{\sqrt{3}}{8}{m}^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}}\\{b=-\frac{3（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}}\end{array}\right.$，
∴直线RC为：y=-$\frac{\sqrt{3}（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}$x-$\frac{3（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}$，
∴点K（m，-$\frac{\sqrt{3}m（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}$-$\frac{3（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}$
∵四边形PKNH是平行四边形，
∴PK=HN，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{4}{m}^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}m（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}$+$\frac{3（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+$\frac{3（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}$，
整理得到：$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²=$\frac{\sqrt{3}m（{m}^{2}-3）}{4（m+3\sqrt{3}）}$，m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（或0舍弃），
∴点P坐标（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．