Question

8．如图所示，两个完全相同的含30°角的Rt△ABC和Rt△AED叠放在一起，BC交DE于点O，AB交DE于点G，BC交AE于点F，且∠DAB=30°，以下三个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG=BG．其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据已知得出∠CAF=30°，∠GAF=60°，进而得出∠AFB的度数；
②利用ASA证明△ADG≌△ACF得出答案；
③利用△AGO≌△AFO，得出AO=CO=AC，进而得出BO=CO=AO，即O为BC的中点；
④在Rt△AGE中，由∠AGE=90°，∠E=30°，推出AG=$\frac{1}{2}$AE，又AB=AE，可得AG=$\frac{1}{2}$AB解决问题．

解答 解：∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．
∴∠CAF=30°，
∴∠GAF=60°，
∴∠AFB=90°，
∴AF丄BC正确，故①正确，
∵AD=AC，∠DAG=∠CAF，∠D=∠C=60°，
∴△ADG≌△ACF正确，故②正确，
∵△ADG≌△ACF，
∴AG=AF，
∵AO=AO，
∠AGO=∠AFO=90°，
∴△AGO≌△AFO，
∴∠OAF=30°，
∴∠OAC=60°，
∴AO=CO=AC，
∴BO=CO=AO，故③正确，
在Rt△AGE中，∵∠AGE=90°，∠E=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AE，
∵AB=AE，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB，
∴AG=GB，故④正确．
故选D．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．