Question

7．设△ABC的内切圆半径为r，BC=a，AC=b，AB=c，且其上的高分别为h_a，h_b，h_c满足h_a+h_b+h_c=9r．则△ABC的形状为等边三角形．

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r=$\frac{1}{2}$a•h_a=$\frac{1}{2}$b•h_b=$\frac{1}{2}$c•h_c，推出h_a=$\frac{1}{a}$（a+b+c）r，同理h_b=$\frac{1}{b}$（a+b+c）r，h_c=$\frac{1}{c}$（a+b+c）r，列方程得到a=b=c，于是得到结论．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r=$\frac{1}{2}$a•h_a=$\frac{1}{2}$b•h_b=$\frac{1}{2}$c•h_c，
∴h_a=$\frac{1}{a}$（a+b+c）r，
同理h_b=$\frac{1}{b}$（a+b+c）r，h_c=$\frac{1}{c}$（a+b+c）r，
∴h_a+h_b+h_c=（a+b+c） r（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）=9r，
∴（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）+（$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$）≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c时等号成立，
∴a=b=c，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边三角形．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，等式的性质，三角形面积公式，熟练掌握三角形的面积的计算方法是解题的关键．