Question

14．如图，将矩形ABCD先过点A的直线L₁翻折，点DA的对应点D′刚好落在边BC上，直线L₁交DC于点F；再将矩形ABCD沿过点A的直线L₂翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．
（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．
（2）当点H与点D刚好重合时，试判断△AEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，在RT△ABC中，由AD′=2AB推出∠AD′B=30°，再证明四边形AED′H是菱形即可解决问题．
（2）如图2中，先证明△DD′G≌△DD′C得出DG=DC=AB=AG，发现△AGD、△GED′、△DEC都是等腰直角三角形，再证明△ABE≌△ECF即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，∵四边形AED′H是平行四边形，
∴AG=GD，
∵EH⊥AD，
∴四边形AED′H是菱形，
∴∠AD′H=∠AD′B，
∵△AEG是由△AEB翻折得到，
∴AB=AG=D′G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴∠AD′B=30°，
∴∠AD′H=30°．
（2）结论：△AEF是等腰直角三角形．
理由：如图2中，连接DD′．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADD′=∠DD′C，AB=DC，∠B=∠C=90°，
∵AD=AD′，
∴∠ADD′=∠AD′D，
∴∠DD′A=∠DD′C，
在△DD′G 和△DD′C中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGD′=∠DCD′}\\{∠DD′G=∠DD′C}\\{DD′=DD′}\end{array}\right.$，
∴△DD′G≌△DD′C，
∴DG=DC=AB=AG，
∵∠AGD=90°，
∴∠GAD=∠GDA=∠AD′E=∠DED′=45°，
∴EG=GD′=BE=CD′，
∵∠AD′B+∠FD′C=90°，
∴∠FD′C=′D′FC=45°，
∴CD′=CF=BE，
∵∠CED=∠CDE=45°，
∴EC=CD=AB，
在△ABE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EC}\\{∠B=∠C=90°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ECF，
∴AE=EF，∠BAE=∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，第一问的关键是菱形性质的应用，第二个问题的关键是正确寻找全等三角形，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．