Question

1．四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AE为∠A的平分线，BF为∠B的平分线，E、F在CD上，AE=BF，证明：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质结合平行线的性质得出AD=DE，CF=CB，进而得出△ADE≌△BCF（SSS），进而得出∠C=∠D=90°，则平行四边形ABCD是矩形．

解答 证明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE为∠A的平分线，BF为∠B的平分线，
∴∠1=∠2，∠CBF=∠FBA，
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∴AD=DE，
同理可得：CF=CB，
故AD=DE=BC=FC，
在△ADE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DE=FC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCF（SSS），
∴∠D=∠C，
又∵AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠C=∠D=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评 此题主要考查了矩形的判定以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ADE≌△BCF（SSS）是解题关键．