Question

3．已知x₁、x₂是关于x的方程x²-px+q=0的两根，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=3，x₁²+x₂²=7．求：p+q的值．

Answer 1

分析 根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=p，x₁•x₂=q，则x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=p²-2q=7，即p²-2q=7，①$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{p}{q}$=3，即$\frac{p}{q}$=3，②由①②联立可以求得p、q的值．

解答 解：∵关于x的方程x²-px+q=0的两根分别是x₁、x₂，
∴x₁+x₂=p，x₁•x₂=q，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=p²-2q=7，即p²-2q=7，①$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$═$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{p}{q}$=3，即$\frac{p}{q}$=3，②
由①②，得9q²-2q-7=0，
（q-1）（9q+7）=0，
解得，q=1，p=3或q=-$\frac{7}{9}$，p=-$\frac{7}{3}$；
∴p+q=3+1=4或p+q=-$\frac{7}{9}$-$\frac{7}{9}$=-$\frac{28}{9}$，
综上所述，p+q的值是4或-$\frac{28}{9}$．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．