Question

19．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=$\frac{1}{3}$CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AB=BG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．

Answer 1

分析 （1）利用平行分线段成比例定理得出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{CG}$=$\frac{AE}{EF}$，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；
（2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得出答案．

解答 （1）证明：∵BF∥DE，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{CG}$=$\frac{AE}{EF}$，
∵AD=BD，
∴AC=CG，AE=EF，
在△ABC和△GBC中：
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CG}\\{∠ACB=∠GCB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△GBC（SAS），
∴AB=BG；

（2）解：当BP长为$\frac{5}{2}$或$\frac{32}{5}$时，△BCP与△BCD相似；
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴CD=2.5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵DE∥BF，
∴∠DCB=∠CBP，
∴∠DBC=∠CBP，
第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：

在△BCP与△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠CPB}\\{∠DBC=∠PBC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△BCD（AAS），
∴BP=CD=2.5；
第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：

∵∠CBD=∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∵CH⊥BG，
∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，
∴△ABC∽△CBH，
∴$\frac{AB}{CB}$=$\frac{BC}{BH}$，
∴BH=$\frac{16}{5}$，BP=$\frac{32}{5}$．
综上所述：当PB=2.5或$\frac{32}{5}$时，△BCP与△BCD相似．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键．