Question

已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，tan∠CAD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）证明：连结OD，根据角平分线定义得∠1=∠2，而∠1=∠3，则∠2=∠3，则可判断OD∥MN，由于DE⊥MN，根据平行线的性质得DE⊥OD，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）由∠1=∠2得tan∠2=tan∠CAD=2，在Rt△ADE中，利用正切的定义可计算出AE=3，再利用勾股定理计算出AD=3

5

，由于AC是直径，根据圆周角定理得∠ADC=90°，易证得Rt△ADC∽Rt△AED，再利用相似比计算出AC=15，于是得到⊙O的半径为

15

2

．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵AD平分∠CAM交⊙O于D，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥MN，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠1=∠2，
∵tan∠2=tan∠CAD=2，
在Rt△ADE中，tan∠2=

DE

AE

=2，
而DE=6，
∴AE=3，
∴AD=

DE2+AE2

=3

5

，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
而∠1=∠2，
∴Rt△ADC∽Rt△AED，
∴AC：AD=AD：AE，即AC：3

5

=3

5

：3，
∴AC=15，
∴⊙O的半径为

15

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．