Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax²+bx+c．
（1）填空：△AOB≌△

 

≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，

 

）；
（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；
（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；
（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2-

1

2t

，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题,全等三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等易推知：OM=OB+BM=t+4-t=4，则C（4，t）．把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax²+bx+c可以求得b=

1

4

t-4a；
（3）利用待定系数法求得直线OD的解析式y=

4

3

x．联立方程组，得

y=ax2+( 1 4 -4a)x y= 4 3 x

，所以ax²+（-

13

12

-4a）x=0，解得 x=0或x=4+

13

12a

．对于抛物线的开口方向进行分类讨论，即a＞0和a＜0两种情况下的a的取值范围；
（4）根据抛物线的解析式y=ax²+（

t

4

-4a）x得到顶点坐标是（-

t

8a

，-

1

64a

（t-16a）²）．结合已知条件求得a=

1

4

t²，故顶点坐标为（2-

1

2t

，-（t-

1

4

）²）．哟抛物线的性质知：只与顶点坐标有关，故t的取值范围为：0＜t≤

1

4

．

解答：解：（1）如图，∵∠DNA=∠AOB=90°，
∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．
在△AOB与△DNA中，

OB=NA ∠OBA=∠NAD AB=DA

，
∴△AOB≌△DNA（SAS）．
同理△DNA≌△BMC．
∵点P（0，4），AP=t，
∴OA=OP-AP=4-t．
故答案是：DNA或△DPA；4-t；

（2）由题意知，NA=OB=t，则OA=4-t．
∵△AOB≌△BMC，
∴CM=OB=t，
∴OM=OB+BM=t+4-t=4，
∴C（4，t）．
又抛物线y=ax²+bx+c过点O、C，
∴

c=0 t=16a+4b+c

，
解得 b=

1

4

t-4a；

（3）当t=1时，抛物线为y=ax²+（

t

4

-4a）x，NA=OB=1，OA=3．
∵△AOB≌△DNA，
∴DN=OA=3，
∵D（3，4），
∴直线OD为：y=

4

3

x．
联立方程组，得

y=ax2+( 1 4 -4a)x y= 4 3 x

，
消去y，得
ax²+（-

13

12

-4a）x=0，
解得 x=0或x=4+

13

12a

，
所以，抛物线与直线OD总有两个交点．
讨论：①当a＞0时，4+

13

12a

＞3，只有交点O，所以a＞0符合题意；
②当a＜0时，若4+

13

12a

＞3，则a＜-

13

12

．
又因为a＜0
所以 a＜-

13

12

．
若4+

13

12a

≤0，则得a≥-

13

48

．
又因为a＜0，
所以-

13

48

≤a＜0．
综上所述，a的取值范围是a＞0或a＜-

13

12

或-

13

48

≤a＜0．

（4）抛物线为y=ax²+（

t

4

-4a）x，则顶点坐标是（-

t

8a

+2，-

1

64a

（t-16a）²）．
又∵对称轴是直线x=-

t

8a

+2=2-

1

2t

，
∴a=

1

4

t²，
∴顶点坐标为：（2-

1

2t

，-

1

16

（1-4t）²），即（2-

1

2t

，-（t-

1

4

）²）．
∵抛物线开口向上，且随着t的增大，抛物线的顶点向上移动，
∴只与顶点坐标有关，
∴t的取值范围为：0＜t≤

1

4

．

点评：本题考查了二次函数综合题型．此题难度较大，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数图象的性质等知识点，综合性比较强，需要学生对所学知识进行系统的掌握．