Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；
（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可得RT△CDF中∠C=30°，即可知DF=$\frac{1}{2}$CD=AE=2t；
（2）由（1）知DF∥AE且DF=AE，即四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=AE，可得关于t的方程，求解即可知；
（3）四边形BEDF不为正方形，若该四边形是正方形即∠EDF=90°，即DE∥AB，此时AD=2AE=4t，根据AD+CD=AC求得t的值，继而可得DF≠BF，可得答案．

解答 解：（1）∵RT△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=90°-∠A=30°．
又∵在RT△CDF中，∠C=30°，CD=4t
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2t，
∴DF=AE；

（2）∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，解得：t=10，
即当t=10时，四边形AEFD是菱形； 

（3）四边形BEDF不能为正方形，理由如下：
当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t+4t=60，
∴t=$\frac{15}{2}$时，∠EDF=90°
但BF≠DF，
∴四边形BEDF不可能为正方形．

点评 本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键．