Question

16．已知反比例函数y=$\frac{k_1}{3x}$的图象与一次函数y=k₂x+m的图象交于A（a，1）、B（$\frac{1}{3}$，-3）两点，连结AO．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出k₂x+m-$\frac{k_1}{3x}$＜0的x的取值范围；
（3）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A（-1，a）、B（$\frac{1}{3}$，-3）代入反比例函数y=$\frac{k_1}{3x}$中得：-3×$\frac{1}{3}$=（-1）×a=k₁，可求k₁、a；再将点A（-1，a）、B（$\frac{1}{3}$，-3）代入y₂=k₂x+m中，列方程组求k₂、m即可；
（2）根据图象得到一次函数在反比例函数下方时x的取值范围即可求解；
（3）分三种情况：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；讨论可得点C的坐标．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k_1}{3x}$的图象经过B（$\frac{1}{3}$，-3），
∴k₁=3×$\frac{1}{3}$×（-3）=-3，
∵反比例函数y=$\frac{k_1}{3x}$的图象经过点A（-1，a），
∴a=1．
由直线y₂=k₂x+m过点A，B得：$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{2}+m=1}\\{\frac{1}{3}{k}_{2}+m=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-3}\\{m=-2}\end{array}\right.$．
∴反比例函数关系式为y=-$\frac{1}{x}$，一次函数关系式为y=-3x-2；
（2）k₂x+m-$\frac{k_1}{3x}$＜0的x的取值范围为-1＜x＜0或x＞$\frac{1}{3}$；
（3）OA=$\sqrt{{1}^{2}+{（-1）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
如图，线段OA的垂直平分线与y轴的交点，有1个，点C的坐标为：（0，1）；
以点A为圆心、AO长为半径的圆与y轴的交点，有1个，点C的坐标为：（0，2）；
以点O为圆心、OA长为半径的圆与y轴的交点，有2个，点C的坐标为：（0，-$\sqrt{2}$）或（0，$\sqrt{2}$）．
故点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，点C的坐标为：（0，-$\sqrt{2}$）或（0，$\sqrt{2}$）或（0，2）或（0，1）．

点评 此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、等腰三角形的性质等知识，注意分类思想的运用．