Question

4．如图，正方形A₁B₁P₁P₂顶点P₁、P₂在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，顶点A₁、B₁分别在x轴、y轴的正半轴上，则点P₂的坐标为（2，1）．

Answer 1

分析 作P₁C⊥y轴于C，P₂D⊥x轴于D，设P₁（a，$\frac{2}{a}$），则CP₁=a，OC=$\frac{2}{a}$，易得Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，则OB₁=P₁C=A₁D=a，所以OA₁=B₁C=P₂D=$\frac{2}{a}$-a，则P₂的坐标为（$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{a}$-a），然后把P₂的坐标代入反比例函数y=$\frac{2}{x}$，得到a的方程，解方程求出a，得到P₂的坐标．

解答 解：作P₁C⊥y轴于C，P₂D⊥x轴于D，如图，
设P₁（a，$\frac{2}{a}$），则CP₁=a，OC=$\frac{2}{a}$，
∵四边形A₁B₁P₁P₂为正方形，
∴Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，
∴OB₁=P₁C=A₁D=a，
∴OA₁=B₁C=P₂D=$\frac{2}{a}$-a，
∴OD=a+$\frac{2}{a}$-a=$\frac{2}{a}$，
∴P₂的坐标为（$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{a}$-a），
把P₂的坐标代入y=$\frac{2}{x}$（x＞0），得到（$\frac{2}{a}$-a）•$\frac{2}{a}$=2，解得a=-1（舍）或a=1，
∴P₂（2，1），
故答案为：（2，1）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．