Question

【题目】已知在△ABC中，AB＝AC在射线AC上取一点D，以D为顶点、DB为一条边作∠BDF＝∠A，点E在AC的延长线上，∠ECF＝∠ACB

(1)如图(1)，当点D在边AC上时，求证:①∠FDC＝∠ABD②DB＝DF

(2)如图(2)，当点D在AC的延长线上时，请判断DB与DF是否相等，并说明理由

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）相等，理由见解析.

【解析】

（1）①利用外角定理及角的和差关系即可证明；

②过点D分别作DM垂直BC于M ,DN垂直CF交FC的延长线于N，先证明△DMC≌△DNC，再证明△DBM≌△DFN，最后利用全等的性质即可得到结果；

（2）过点D分别作DP垂直CF于P ,DQ垂直BC交BC的延长线于Q，先证明△DPC≌△DQC，再证明△DPF≌△DQB，最后利用全等的性质即可得到结果.

（1）证明：①∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDC=∠BDF+∠FDC，且∠A=∠BDF，

∴∠FDC=∠ABD；

②过点D分别作DM垂直BC于M ,DN垂直CF交FC的延长线于N，

∴∠DMB=∠DMC=90°，∠DNC=∠DNF=90°，

∴∠DMC=∠DNC=90°，

∵∠ECF=∠ACB，∠ECF=∠ACN (对顶角相等），

∴∠ACB=∠ACN，

又∵CD=CD，

∴△DMC≌△DNC (AAS)，

∴DM=DN，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ECF，

∵∠ECF=∠FDC+∠DFN，∠ABC=∠ABD+∠DBM，

且由①知，∠FDC=∠ABD，

∴∠DBM=∠DFN，

又∵∠DMB=∠DNF=90°，

∴△DBM≌△DFN (AAS)，

∴DB=DF；

（2）解：DB=DF，理由如下：

过点D分别作DP垂直CF于P ,DQ垂直BC交BC的延长线于Q，

∴∠DPC=∠DPF=90°，∠DQC=∠DQB=90°，

∴∠DPC=∠DQC=90°，∠DPF=∠DQB=90°，

∵∠ACB=∠DCQ (对顶角相等），∠ACB=∠ECF，

∴∠ECF=∠DCQ，

∵CD=CD，

∴△DPC≌△DQC (AAS)，

∴DP=DQ，

∵∠BDE=∠ABD+∠A，∠BDE=∠BDF+∠EDF，且∠BDF=∠A，

∴∠ABD=∠EDF，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ECF，

∵∠ABD=∠ABC+∠DBQ，∠EDF=∠ECF+∠DFP，

∴∠DBQ=∠DFP，

∴△DPF≌△DQB (AAS)，

∴DB=DF.