Question

6．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

Answer 1

分析 设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，
由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，
过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°-75°）=60°，
∴BD=AB•cos60°=$\frac{1}{2}$AB=6，AD=AB•sin60°=6$\sqrt{3}$，
∴CD=10x+6．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：${（{14x}）^2}={（{10x+6}）^2}+{（{6\sqrt{3}}）^2}$，
解得：${x_1}=2，{x_2}=-\frac{3}{4}$（不合题意舍去）．
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．

点评 本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．