Question

15．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁BC₁的位置，AB与A₁C₁相交于点D，AC与A₁C₁、BC₁分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA₁D．
（2）当∠C=α度时，判定四边形A₁BCE的形状并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A₁B=AB=BC，∠A=∠A₁=∠C，∠A₁BD=∠CBC₁，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA₁D；
（2）由旋转的性质得到∠A₁=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°-∠A₁-∠C-∠A₁EC=180°-α，证得四边形A₁BCE是平行四边形，由于A₁B=BC，即可得到四边形A₁BCE是菱形．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁BC₁的位置，
∴A₁B=AB=BC，∠A=∠A₁=∠C，∠A₁BD=∠CBC₁，
在△BCF与△BA₁D中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{A}_{1}=∠C}\\{{A}_{1}B=BC}\\{∠{A}_{1}BD=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BA₁D；

（2）解：四边形A₁BCE是菱形，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁BC₁的位置，
∴∠A₁=∠A，
∵∠ADE=∠A₁DB，
∴∠AED=∠A₁BD=α，
∴∠DEC=180°-α，
∵∠C=α，
∴∠A₁=α，
∴∠A₁BC=360°-∠A₁-∠C-∠A₁EC=180°-α，
∴∠A₁=∠C，∠A₁BC=∠A₁EC，
∴四边形A₁BCE是平行四边形，
∴A₁B=BC，
∴四边形A₁BCE是菱形．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．