Question

16．如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点P（s，t）在抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1上，点P到x轴的距离记为m，PA=n．
（1）若s=4，分别求出m、n的值，并比较m与n的大小关系；
（2）若点P是该抛物线上的一个动点，则（1）中m与n的大小关系是否仍成立？请说明理由；
（3）如图2，过点P的直线y=kx（k≠0）与抛物线交于另一点Q连接PA、QA，是否存在k使得PA=2QA？若存在，请求出k的值；若不存在，请举例说明．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线上点的横坐标代入抛物线解析式中，求出t=5，再用两点间的距离公式求出PA，即可；
（2）设出点P（S，$\frac{1}{4}$S²+1），求出m，n即可；
（3）分别过P、Q作PN⊥x轴，QM⊥x轴，由△QOM∽△PON得到ON=2OM，由PN=2QM建立方程，$\frac{1}{4}$（2a）²+1=2（$\frac{1}{4}$a²+1），求出a=$±\sqrt{2}$，再分两种情况计算即可．

解答 解：（1）∵当s=4时，点P（s，t）在抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1上，
∴t=5，
∵点P到x轴的距离记为m，
∴m=5，
∴P（4，5）
∵A（0，2），
∴PA=$\sqrt{（4-0）^{2}+（5-2）^{2}}$=5，
∴m=n，
∴m=5，n=5，m=n，
（2）m=n 仍然成立．
设P（s，$\frac{1}{4}$s²+1），
∴m=$\frac{1}{4}$s²+1，
∴n=$\sqrt{{s}^{2}+（\frac{1}{4}{{s}^{2}+1-2）}^{2}}$=$\frac{1}{4}$s²+1，
∴m=n 仍然成立；
（3）如图，

分别过P、Q作PN⊥x轴，QM⊥x轴，
∵PA=2QA，
由（2）知，PN=2QM，
∵△QOM∽△PON，
∴ON=2OM，
设Q（a，$\frac{1}{4}$a²+1），
∴P[2a，$\frac{1}{4}$（2a）²+1]，
由PN=2QM得，$\frac{1}{4}$（2a）²+1=2（$\frac{1}{4}$a²+1），
∴a=$±\sqrt{2}$，
当a=$\sqrt{2}$时，
∴P（2$\sqrt{2}$，3），
∴k=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；
当a=-$\sqrt{2}$时，
∴∴P（-2$\sqrt{2}$，3），
∴k=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；
∴k=±$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了确定抛物线上点的坐标，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是找相等关系建立方程．