Question

18．如图，直线l：y=-x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°．
（1）求△AOB的周长；
（2）设AQ=t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m，若过点A的二次函数y=ax²+bx+c同时满足以下两个条件：
①6a+3b+2c=0；
②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于$\frac{2}{m}$，求二次项系数a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B坐标，再求出OB、OA、AB即可解决问题．
（2）由△PBO∽△OAQ，得$\frac{PB}{OA}$=$\frac{OB}{AQ}$，求出PB，再根据等腰直角三角形性质可以求得点P坐标．
（3）先求出m的值，分①a＞0，②a＜0，两种情形，利用二次函数性质分别求解即可．

解答 解：（1）在函数y=-x+1中，令x=0，得y=1，
∴B（0，1），
令y=0，得x=1，
∴A（1，0），
则OA=OB=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴△AOB周长为1+1+$\sqrt{2}$=2+$\sqrt{2}$．
（2）∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠PBO=∠QAO=135°，
设∠POB=x，则∠OPB=∠AOQ=135°-x-90°=45°-x，
∴△PBO∽△OAQ，
∴$\frac{PB}{OA}$=$\frac{OB}{AQ}$，
∴PB=$\frac{OA•OB}{AQ}$=$\frac{1}{t}$，
过点P作PH⊥OB于H点，

则△PHB为等腰直角三角形，
∵PB=$\frac{1}{t}$，
∴PH=HB=$\frac{\sqrt{2}}{2t}$，
∴P（-$\frac{\sqrt{2}}{2t}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2t}$）．
（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，
∴PB=OA，
∴$\frac{1}{t}$=1，
∴t=1，
同理可得Q（1+$\frac{\sqrt{2}}{2t}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2t}$），
∴m=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2t}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2t}}$=$\sqrt{2}$-1，
∵抛物线经过点A，
∴a+b+c=0，
又∵6a+3b+2c=0，
∴b=-4a，c=3a，
对称轴x=2，取值范围$\sqrt{2}$-1≤x$≤\sqrt{2}$+1，
①若a＞0，则开口向上，
由题意x=$\sqrt{2}$-1时取得最大值$\frac{2}{m}$=2$\sqrt{2}$+2，
即（$\sqrt{2}$-1）²a+（$\sqrt{2}$-1）b+c=2$\sqrt{2}$+2，
解得a=$\frac{11+8\sqrt{2}}{7}$．
②若a＜0，则开口向下，
由题意x=2时取得最大值2$\sqrt{2}$+2，
即4a+2b+c=2$\sqrt{2}$+2，
解得a=-2$\sqrt{2}$-2．
综上所述所求a的值为$\frac{11+8\sqrt{2}}{7}$或-2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、函数最值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考压轴题．