Question

14．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=3，BC=4，点P是AD边上任意一点（与点A，D不重合），现将△PCD沿PC翻折，得到△PCD′，再在AB边上选取适当的点E，将△PAE沿PE翻折，得到△PA′E，并使直线PD′，PA重合，线段AE的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 可设AE=x，PD=y，根据翻折的性质可得到∠EPC=90°，从而可以推证△EA'P∽△PD'C，通过相似三角形对应边的比找到y与x的关系式，利用配方法得到x的最大值．

解答 解：∵由题意可知∠APE=∠EPA′，∠DPC=∠D′PC，AP=A′P，DC=D′C
∴∠EPC=90°，
∵∠A=∠A′=90°，∠D=∠PD′C=90°，
∴∠A′EP=∠D′PC，
∴△EA'P∽△PD'C
∴$\frac{EA′}{PD′}=\frac{A′P}{D′C}$
设AE=x，PD=y，
∵AB=3，BC=4，
∴AP=4-y，
∴$\frac{x}{y}=\frac{4-y}{4}$，整理得x=-$\frac{1}{3}$（y-2）²+$\frac{4}{3}$，
∴x的最大值为$\frac{4}{3}$．
故答案为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质及相似三角形性质，解题的关键是利用折叠的性质找到相似三角形，从而找到两条折叠线段之间的关系确定最大值．