Question

4．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
现有如下结论：①AM=DN；   ②EM=BN；   ③∠CAM=∠CDN；    ④∠CME=∠CNB．
（1）上述结论正确的有①②③④．
（2）选出一个你认为正确的结论，并证明这个结论．
你选的结论是：③．
证明：
∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，∠ACD=∠BCE=60°，CE=CB，
∵A、C、B三点在一条直线上，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM=∠CDN，．

Answer 1

分析 （1）4个选项都正确；
（2）证明△ACE≌△DCB，得∠CAM=∠CDN，证明△ACM≌△DCN得：AM=DN，再证明△MCE≌△NCB（ASA），得EM=BN，∠CME=∠CNB．

解答 解：（1）上述结论正确的有：①②③④；
故答案为：①②③④；

（2）选③，
证明：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，∠ACD=∠BCE=60°，CE=CB，
∵A、C、B三点在一条直线上，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM=∠CDN，
所以③正确；
选①，
证明：在△ACM和△DCN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CDN}\\{AC=CD}\\{∠ACD=∠DCE=60°}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM=DN，
所以①正确；
选②，
证明：∵△ACE≌△DCB，
∴∠MEC=∠NBC，
在△MCE和△NCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠NCB}\\{EC=BC}\\{∠MEC=∠NBC}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△NCB（ASA），
∴EM=BN，∠CME=∠CNB．
所以②和④都正确．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质，是常考题型，此类题变化多样，熟练掌握等边三角形的性质是关键，利用等边三角形的性质得出三角形全等的条件即可得出结论．