Question

9．计算：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+2005}$．

Answer 1

分析 原式利用1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$变形，再利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：∵1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{1+2+…+n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
则原式=$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{2005×2006}$
=2×（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2005×2006}$）
=2×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2005}$-$\frac{1}{2006}$）
=2×（1-$\frac{1}{2006}$）
=$\frac{2005}{1003}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．