Question

【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B =∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：

线段DE与AC的位置关系是 ；

设△BDC的面积为，△AEC的面积为，则与的数量关系是 ．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高DM和AN，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使，请求出相应的BF的长．

Answer 1

【答案】（1）； ．（2）证明见解析；（3）BF=或．

【解析】（1）； ．

（2）证明： ， ．

又， ．

又， ，

． ．

又， ．

（3）如图，延长CD交AB于点P，

则有

∠ABD=30°，PD=2，由BD=CD=4可得∠BCD=30°，

∴∠BPD=90°，BP=，

同理可求DE=BE=，故，

当时， ，∴，

∴，即BF=或．