Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：当AB=CD时，四边形EGFH是菱形． 证明：∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG AB，同理HF AB，∴EG HF．
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG= AB，又可同理证得EH= CD，
∵AB=CD，∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形
【解析】本题可根据菱形的定义来求解．E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥=HF． 因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH= CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件．
【考点精析】关于本题考查的三角形中位线定理和菱形的判定方法，需要了解连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形才能得出正确答案．