Question

3．（1）如图①，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F，求证：OE=OF．
（2）在图①中，过点O作直线GH分别交AB、CD于点G、H，且满足GH⊥EF，连结EG、GF、FH、HE．如图②，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，
若平行四边形ABCD变为矩形时，四边形EGFH是菱形；
若平行四边形ABCD变为菱形时，四边形EGFH是菱形；
若平行四边形ABCD变为正方形时，四边形EGFH是正方形．

Answer 1

分析 （1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；
（2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；
（3）若平行四边形ABCD变为矩形，即AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；
若平行四边形ABCD变为菱形，即AC⊥BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；
当四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCA}\\{∠AOE=∠COE}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO=FO；

（2）解：四边形EGFH是菱形；
理由：如图②：
由（1）可知，OE=OF，
同理可得：OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形；

（3）解：若平行四边形ABCD变为矩形时，四边形EGFH是菱形；
理由：由（2）知四边形EGFH是菱形，
当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；
故答案为：菱形；

若平行四边形ABCD变为菱形时，四边形EGFH是菱形；
理由：由（2）知四边形EGFH是菱形，
当AC⊥BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响；
故答案为：菱形；

若平行四边形ABCD变为正方形时，四边形EGFH是四边形EGFH是正方形；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°
∴∠BOG=∠COF；
在△BOG和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOG=∠COF}\\{BO=CO}\\{∠GBO=∠FCO}\end{array}\right.$，
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，
同理可得：EO=OH，
∴GH=EF；
由（3）知四边形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．
故答案为：正方形．

点评 此题主要考查了四边形综合、平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．