Question

13．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．

（1）如图①，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）将（2）中点P变为两个点P₁、P₂得图③，试观察比较四边形BP₁P₂C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（4）将（3）中的点P₁、P₂移至△ABC外，并使点P₁、P₂与点A在边BC的异侧，且∠P₁BC＜∠ABC，∠P₂CB＜∠ACB，得图④，试观察比较四边形BP₁P₂C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）、（2）、（3）通过作辅助线，利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答即可；
（4）通过将四边形BP₁P₂C沿直线BC翻折，使点P₁、P₂落在△ABC内，转化为（3）情形，从而问题得解．

解答 解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由如下：
在△ABC中，根据三角形两边之和大于第三边，得：BC＜AB+AC，
即BP+PC＜AB+AC；
（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：
如图1，延长BP交AC于M，
在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，
在△PMC中，PC＜PM+MC，
两式相加得BP+PC＜AB+AC，
∴BP+PC+BC＜AB+AC+BC，
即△BPC的周长＜△ABC的周长．
（3）四边形BP₁P₂C的周长＜△ABC的周长．理由如下：
如图2，分别延长BP₁、CP₂交于M，
由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P₁P₂＜P₁M+P₂M，
可得，BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC，
∴BP₁+P₁P₂+P₂C+BC＜BM+CM＜AB+AC+BC，
即四边形BP₁P₂C的周长＜△ABC的周长．
（4）四边形BP₁P₂C的周长＜△ABC的周长．理由如下：
将四边形BP₁P₂C沿直线BC翻折，使点P₁、P₂落在△ABC内，
转化为（3）情形，
同（3）得：四边形BP₁P₂C的周长＜△ABC的周长．

点评 本题是三角形综合题目，考查了三角形的三边关系、三角形和四边形周长的计算；比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进是解决问题的关键．