Question

（1）如图1，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于点F，PG⊥AD于点G．判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．
（2）如图2，当四边形ABCD变为平行四边形，其他条件不变，若∠ABC=60°，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．
（3）如图3，当四边形ABCD满足∠ABD=90°，AB=3，BD=4，其它条件不变，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．

Answer 1

考点：矩形的性质,平行四边形的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）延长GP交BC于点H，根据矩形性质AD∥BC，求出∠CBD=∠EBD，根据角平分线性质得出PF=PH，即可得出答案；
（2）过点A作AK⊥BC于点K，延长GP交BC于点H，根据在Rt△ABK中∠ABK=60°得出AK=ABsin60°=

3

2

AB，即可得出答案；
（3）连接PE，过点B作BK⊥AD于点K，根据三角形面积求出PF+PG=BK，根据勾股定理求出AD=5，根据三角形面积求出BK=2.4，求出

BK

AB

的值，即可得出答案．

解答：解：（1）PF+PG=AB，
理由：延长GP交BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵EB=ED，
∴∠ADB=∠EBD，
∴∠CBD=∠EBD，
∴BP平分∠EBC
∵PG⊥AD，AD∥BC，
∴GH⊥BC，GH=AB，
∵PF⊥BE，PH⊥BC，
∴PF=PH
∴PF+PG=PH+PG=GH=AB；

（2）PF+PG=

3

2

AB，
理由：过点A作AK⊥BC于点K，延长GP交BC于点H，
由（1）可知易证PG+PF=GH=AK，
在Rt△ABK中，∠ABK=60°，
∴AK=ABsin60°=

3

2

AB，
∴PG+PF=

3

2

AB；

（3）PG+PF=

4

5

AB，
理由：连接PE，过点B作BK⊥AD于点K，
∵BE=DE，
∴S_△BED=S_△BEP+S_△DEP=

1

2

BE×PF+

1

2

DE×PG=

1

2

DE（PF+PG）=

1

2

DE×BK，
∴PF+PG=BK，
在Rt△ABD中，AB=3，BD=4，
∴AD=5，
∵S_△ABD=

1

2

AB×BD=6=

1

2

AD×BK=

1

2

×5×BK，
∴BK=2.4，
∴

BK

AB

=

2.4

3

=

4

5

，
∴BK=

4

5

AB，
∴PF+PG=

4

5

AB．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形性质，三角形的面积，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度偏大．