Question

等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，cosB=

3

5

，I为△ABC的内心，则BI的长为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：根据等腰三角形的性质得出AE⊥BC，进而得出AE过点I，求出BF的长，即可利用勾股定理得出FI以及BI的长．

解答：解：连接AO并延长到BC于点E，过点I作IF⊥AB于点F，
∵等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，
∴AE⊥BC，
∵cosB=

3

5

，AB=AC=10，
∴BE=6，AE=8，
∵AE⊥BC，AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵I为△ABC的内心，∠ABI=∠EBI，
∴AE过点I，
∵IF⊥AB，IE⊥BC，∠ABI=∠EBI，
∴IF=IE，
在Rt△BEI和Rt△BFI中，

BI=BI FI=EI

，
∴Rt△BEI≌Rt△BFI（HL），
∴BE=BF=6，
∴AF=10-6=4，
设IE=x，则FI=x，AI=8-x，
在Rt△AFI中，
AF²+FI²=AI²，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
在Rt△AFI中，
BI=

62+32

=3

5

．
故答案为：3

5

．

点评：此题主要考查了勾股定理以及三角形内心的性质和全等三角形的判定与性质等知识，得出AE过点I是解题关键．