Question

在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．

（1）当点O为AC中点时，
①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若

AO

AC

=

1

4

，求

OE

OF

的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）①猜想：AE²+CF²=EF²，连接OB，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF即可；
②成立．连结OB，求出OB=

1

2

，∠BOC=90°，∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠FCO，证△OEB≌△OFC，推出BE=CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF²+BE²=EF²，即可得出答案；
（2）过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，证△OME∽△ONF，推出

OM

ON

=

OE

OF

，证△AOM∽△OCN，得出比例式，即可得出答案．

解答：解：（1）①猜想：AE²+CF²=EF²．
②成立．
证明：连结OB．
∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，
∴OB=

1

2

，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
又∵∠EBO=∠FCO，
在△OEB和△OFC中

∠EOB=∠COF OB=OC ∠OBE=∠OCF

，
∴△OEB≌△OFC，
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，
∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²．

（2）如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．
∵∠B=90°，
∴∠MON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠EMO=∠FNO=90°，
∴△OME∽△ONF，
∴

OM

ON

=

OE

OF

，
∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN，
∴

OM

ON

=

AO

OC

，
∵

AO

AC

=

1

4

，
∴

OE

OF

=

1

3

．

点评：本题考查了相似形的综合，用到的知识点是等腰直角三角形性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是运用数形结合思想，做出辅助线．