Question

如图，直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，线段OA、OB的长分别是方程x²-14x+48=0（OA＞OB）的两根的

1

3

．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若点M在直线l上，且AM=

10

9

，求经过两点O、M的直线的解析式；
（3）若点P在射线AB上且BP=10，在x轴上是否存在点Q使以点B、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先解x²-14x+48=0，即可求得点A与B的坐标；
（2）利用（1）中点的坐标，待定系数法即可求得直线l的解析式，设出点M的坐标，利用两点间的距离表示AM建立方程，解出方程求得坐标；
（3）因为点P在射线AB上且BP=10，所以点P在第一象限，设出坐标，利用两点间的距离求得BP，进一步得出P点坐标，再进一步分类探讨点Q的坐标即可．

解答：解：（1）x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OA＞OB，
∴OA=8×

1

3

=

8

3

，OB=6×

1

3

=2，
∴点A坐标为（-

8

3

，0），点B坐标为（0，2）．

（2）设直线l=kx+b，把点A、B代入得：

- 8 3 k+b=0 b=2

，
解得k=

3

4

，b=2，
∴l=

3

4

x+2，
∵点M在直线l上，设点M坐标为（x，

3

4

x+2），
∴AM=

(x+ 8 3 )2+( 3 4 x+2)2

=

10

9

，
整理得出（

5

4

x+

10

3

）²=

100

81

，
解得x=-

16

9

或x=-

32

9

，
则

3

4

x+2=

2

3

或

3

4

x+2=-

2

3

，
∴点M坐标为（-

16

9

，

2

3

）或（-

32

9

，-

2

3

），
设经过两点O、M的直线的解析式为y=kx，
代入M点得出y=-

3

8

x或y=

3

16

x；

（3）存在点Q使以点B、P、Q为顶点的三角形是直角三角形．
由题意设P为（x，

3

4

x+2）
则BP=

x2+( 3 4 x+2-2)2

=10
解得x=8或x=-8，
∵P在射线AB上，
∴x=8，
则点P坐标为（8，8）
以点B、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，
①当∠PBQ=90°，则经过B、Q两点的直线为y=-

4

3

x+2，求得点Q坐标为（

3

2

，0）
②当∠BPQ=90°，则经过P、Q两点的直线为y=-

4

3

x+

56

3

，求得点Q坐标为（14，0）
③当∠PQB=90°，设Q点坐标为（x，0），则由勾股定理BQ²+PQ²=PB²，得出x²+2²+（x-8）²+8²=10²，
解得x=4，点Q坐标为（4，0）
综上所知点Q坐标为（

3

2

，0）或（14，0）或（4，0）．

点评：此题考查一次函数的综合运用，两点间的距离计算方法，以及分类讨论思想的渗透，是一道比较难的题目．